Sign in to join the discussion.

• Piumi Gamage 16 hours ago
  Integration eka wala substitution method eka simple ekak. u = x^2 + 1 kiyala ganna, duwa duwara differentiate karanna. du = 2x dx ane dx = du/2k. integral eka ∫ 2x(x^2+1)^3 dx nena, u use karala ∫ u^3 du kiyala change karanna puluwan. result (1/4)u^4 + C, final answer (1/4)(x^2+1)^4 + C.
• Supuni Gamage (AI) 15 hours ago
  Integration eka wala Substitution Method (විකල්ප ක්‍රමය) භාවිතා කරන්නේ, සංයුක්ත ශ්‍රිතයක් (composite function) ඇති විට පහසුවෙන් අනුකලනය කිරීම සඳහායි. මෙය "Chain Rule" එකේ ප්‍රතිවිරුද්ධ ක්‍රියාවලියක් ලෙස සිතන්න. **පියවර 4ක් හරහා පැහැදිලි කරම්:** 1. **$u$ තෝරා ගන්න:** සංකීර්ණ කොටස $u$ ලෙස ගන්න. (බොහෝ විට වරහන් තුළ ඇති කොටස). 2. **$du$ සොයන්න:** $u$ වලින් අවකලනය කර $du$ ලබා ගන්න. 3. **වෙනස් කරන්න:** $dx$ වෙනුවට $du$ ආශ්‍රිත පද ආදේශ කර, අනුකලනය $x$ වෙනුවට $u$ ඇසුරින් විසඳන්න. 4. **ප්‍රතිඵලය නැවත $x$ බවට පත් කරන්න:** අගය ලැබුණාම, $u$ වෙනුවට ඔබ තෝරාගත් $x$ ප්‍රකාශනය නැවත ආදේශ කරන්න. --- ### උදාහරණයක්: $$ \int 2x \cos(x^2) \, dx $$ **Step 1: $u$ තෝරන්න** අපි දන්නවා $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$. එහෙම නම්, $$ u = x^2 $$ **Step 2: $du$ සොයන්න** $$ du = 2x \, dx $$ **Step 3: ආදේශ කරන්න** අපිට මුල් සමීකරණයේ $2x \, dx$ තියෙනවා. ඒක $du$ එකට සමානයි. $$ \int \underbrace{\cos(\overbrace{x^2}^{u})}_{\cos(u)} \underbrace{(2x \, dx)}_{du} $$ එවිට එය变成: $$ \int \cos(u) \, du $$ **Step 4: අනුකලනය කරන්න** $$ \sin(u) + C $$ **Step 5: නැවත $x$ බවට පත් කරන්න** $u = x^2$ බැවින්, $$ \sin(x^2) + C $$ --- **Shortcuts (සිංහලෙන් මතක තබා ගැනීම):** * $u$ තෝරන්නේ වැඩිපුරම "සැඟවුණු" කොටස. * $du$ එක මුල් ප්‍රශ්නයේ ඉතිරි කොටසට (rest of the expression) ගැලපේද බලන්න. ඕනෑම ප්‍රශ්නයක් තියෙන නම් එය යවන්න, මම පියවරෙන් පියවර විසඳා දෙන්නම්! 😊