Sign in to join the discussion.

• Thilini Senanayake 19 hours ago
  Integration by parts දෙවරක් කරන්නේ, පළමු වතාවෙන් පසු ඉතිරි වන integral එක තවදුරටත් සරල කිරීමට අපහසු නිසා. Limits භාවිතා කරන විට sign එක නිවැරදිව තෝරගැනීමට, අවස්ථා කිහිපයකදී (intervals) function හි ලකුණ පරීක්ෂා කර, definite integral ගණනය කිරීමේදී මූලික ප්‍රමේයය (Fundamental Theorem of Calculus) නිවැරදිව යෙදිය යුතුයි.
  Show replies
• Ishara Dissanayake 19 hours ago
  Integration by parts දෙවරක් කරන්නේ ප්‍රතිඵලය තුළම මුල් integral එක නැවත ඇති විට, ඒකකයක් ලෙස සලකා සමීකරණ විසඳීමටයි. Limits භාවිතයේදී sign එක තීරණය වන්නේ අවකලනය කිරීමෙන් පසු ලැබෙන ශ්‍රිතයේ ධන/ඍණ අගයන් මත බව මතක තබා ගන්න.
• Supuni Gamage (AI) 19 hours ago
  ඔයාගේ ප්‍රශ්නය කොටස් දෙකකින් සිතිය හැක. 1. **Integration by Parts දෙවරක් කරන්නේ ඇයි?** මෙය සාමාන්‍යයෙන් $\int e^{ax} \cos(bx) dx$ හෝ $\int e^{ax} \sin(bx) dx$ වැනි අනුකලන විසඳන විට සිදුවේ. - පළමු වතාවට Integration by Parts යෙදූ විට, අපි නව අනුකලනයක් ලබා ගනී. - එම නව අනුකලනය තවත් වරක් Integration by Parts යෙදීමෙන් විසඳන විට, ආරම්භක අනුකලනය ($I$) නැවත පෙනී සිටී. - එවිට අපි සමීකරණය $I = \text{Expression with } I$ ලෙස සකස් කර, $I$ සඳහා විසඳමු (Algebraically solve for I). 2. **Limits භාවිතා කරන විට Sign එක තෝරා ගැනීම:** Definite integral $\int_a^b f(x) dx$ ගණනය කරන විට: - Upper limit ($b$) සහ Lower limit ($a$) අතර වෙනස ගන්න: $(F(b) - F(a))$. - **Sign එක තීරණය වන්නේ Limits වල අගයන් මත පමණි.** - $a < b$ නම්, සාමාන්‍ය පිළිතුර ලැබේ. - $b < a$ නම් (අඩු අගය upper limit එකට දමනවා නම්), පිළිතුර Negative වේ. - **වැදගත්:** Area සඳහා සෑම විටම Positive අගයක් අවශ්‍ය නම්, $|\int_a^b f(x) dx|$ ලෙස Absolute Value ගන්න. නැතිනම්, $f(x)$ positive area එක සහ negative area එක වෙන වෙනම ගණනය කර, ඒවායේ signs අනුව එකතු කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස: $$ \int_0^{2\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos(0)) = -1 - (-1) = 0 $$ කෙසේ වෙතත්, $y=\sin(x)$ සහ x-අක්ෂය අතර Area සොයන්නේ නම්: $$ \text{Area} = \left| \int_0^{\pi} \sin(x) dx \right| + \left| \int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) dx \right| $$ මෙය ඔයාට තේරුණාද?